Ετικέτα: μαθηματικά

ατονική, χρωματική, σειρά, ύψος, διάρκεια, ένταση, ρυθμός, δυναμική, αναλογίες, Ξενάκης

Από τις αρχές του 20ου αιώνα παρατηρείται μια τάση επανασύνδεσης…

Από τις αρχές του 20ου αιώνα παρατηρείται μια τάση επανασύνδεσης της μουσικής με τα μαθηματικά. Στην ατονική μουσική γίνεται χρήση της χρωματικής κλίμακας, της κλίμακας χωρίς τονικά κέντρα. Η σύνθεση στηρίζεται στη συγκρότηση μιας σειράς σύμφωνα με τις παραμέτρους: ύψος (Σένμπεργκ), διάρκεια, ένταση (Μεσιάν) και ρυθμός, δυναμική (Μπουλέζ).

Η οργάνωση του μουσικού υλικού γίνεται με την εφαρμογή των μαθηματικών. Χρησιμοποιούνται αναλογίες αριθμών, για να δημιουργήσουν ομάδες-πρότυπα διαστημάτων, διαρκειών, εντάσεων, δυναμικής κ.ά., που θα χρησιμεύσουν ως υλικό για τη σύνθεση-κατασκευή του μουσικού έργου.

Το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα ο I. Ξενάκης συμβάλλει σε μεγάλο βαθμό στην εξέλιξη της μουσικής μέσω των σύγχρονων μαθηματικών.

νεοπλατονισμός, αδιαχώριστη από την ποίηση, ηθική, αναλογίες, Τζαρλίνο

Γίνεται μια στροφή στην κλασική αρχαιότητα …

Γίνεται μια στροφή στην κλασική αρχαιότητα (“Νεοπλατωνισμός”), και οι μουσικοί αντλούν στοιχεία από την ελληνική μουσική που ανακαλύπτουν στα έργα του Πλάτωνα, Αριστοτέλη, Πλούταρχου κ.ά. Από αυτά τα στοιχεία προκύπτει η άποψη ότι η μουσική είναι αδιαχώριστη από την ποίηση, καθώς επίσης και η άποψη για την υποχρέωση της μουσικής να διαμορφώνει ηθική.

Παράλληλα με τις απόψεις του Νεοπλατωνισμού επικρατεί και η θέση, σύμφωνα με την οποία η μουσική σύνθεση στηρίζεται σε μαθηματικές αναλογίες. Τα αρμονικά, δηλαδή, διαστήματα υπολογίζονται με μαθηματικές αναλογίες. Κύριος εκφραστής αυτής της άποψης ήταν ο Τζαρλίνο (1517-1590).

Βοήθιος, αναλογίες, Αυγουστίνος, ωραίο, εμπειρική πρακτική

Ο Βοήθιος στο έργο του De Musica παραδέχεται…

Ο Βοήθιος στο έργο του De Musica παραδέχεται τον αριθμό και την αναλογία ως θεμελιώδεις αρχές, με τις οποίες η μουσική μπορεί να αποδώσει το θεϊκό. Ο Αυγουστίνος θεωρεί ως βασικές έννοιες για το ωραίο τον αριθμό, το μέτρο, την αναλογία κ.ά. Βασική αρχή για τη δημιουργία του κόσμου (από το Θεό) θεωρεί τον αριθμό, ως μέρος του όλου, εφόσον όμως όλα μέρη εναρμονίζονται και η αρμονία προκύπτει από την ομοιότητά τους.

Ωστόσο, οι μουσικοί του Μεσαίωνα στηρίχθηκαν στην εμπειρική πρακτική για την οργάνωση της μελωδίας της αρμονίας. Προτιμούσαν τελικά το αποτέλεσμα εκείνο της σύνθεσης, το οποίο ηχούσε καλά και δεν τους απασχολούσε να το αποδείξουν.

γεωμετρική, ευθύγραμμα τμήματα, γράμματα

Η πρόταση του Ευκλείδη για τα διαστήματα είναι γεωμετρική…

Η πρόταση του Ευκλείδη για τα διαστήματα είναι γεωμετρική. Τα μήκη των χορδών που εκφράζουν ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται με δύο γράμματα στην αρχή και στο τέλος. Ο “μουσικός” τρόπος ορισμού του διαστήματος στην αριθμητική είναι με ένα γράμμα για ένα ευθύγραμμο τμήμα, αντίθετα με το “γεωμετρικό” που είναι με δύο.

φιλόσοος, θεωρητικός, εμπειρική μέθοδος, αντιπυθαγορικός, αυτί, αίσθηση, ολόκληρος τόνος, μισός τόνος, κλίμακα 1/12 τόνου

Νεότερος του Πυθαγόρα ο Αριστόξενος…

Νεότερος του Πυθαγόρα ο Αριστόξενος (375 με 360 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής, γνωστός ως “ο Μουσικός”. Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα της διδασκαλίας του είναι αντιπυθαγορικό και βασίζεται στην ικανότητα του αυτιού (της αίσθησης) να αντιλαμβάνεται τους τόνους και την αρμονική σχέση μεταξύ τους. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις του τετράτονου και του πεντάτονου. Ωστόσο, καθορίζει τον ολόκληρο τόνο και τον μισό, κατασκευάζοντας παράλληλα και μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου.

μονόχορδο, υπάτη, μέση, παραμέση, νήτη

Ο Πυθαγόρας βρήκε τις μαθηματικές σχέσεις των φθόγγων…

Ο Πυθαγόρας βρήκε τις μαθηματικές σχέσεις των φθόγγων της κλίμακας με πειράματα που έκανε με το μονόχορδο 1ος φθόγγος, υπάτη, συχνότητα 1 (παράδειγμα: ντο) 2ος φθόγγος, μέση, συχνότητα 4/3 (φα) 3ος φθόγγος, παραμέση, συχνότητα 3/2 (σολ) 4ος φθόγγος, νήτη, συχνότητα 2 (ντο)

Η κλίμακα κατασκευάζεται με τον φθόγγο που έχει συχνότητα 9/8. [Σημείωση: τα παραπάνω είναι απλώς αντιγραφή από το βιβλίο.]

36, άρτιος, περιττός, 4 στοιχεία, σχήματα στοιχείων

Η πρώτη (μεγάλη) τετρακτής είναι 36…

• Η πρώτη (μεγάλη) τετρακτής είναι 36
• η δεύτερη εκφράζει την έννοια του άρτιου αριθμού
• η τρίτη τον περιττό
• Η τέταρτη τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία: φωτιά, αέρα, νερό και γη
• Η πέμπτη τετρακτύς συμβολίζει τα σχήματα των απλών στοιχείων. Το τετράεδρο (πυραμίδα) συμβολίζει τη φωτιά, το οκτάεδρο τον αέρα, το εικοσάεδρο το νερό και ο κύβος τη γη

1+2+3+4, ντο-ντο, διαπασών, φα, σολ

Το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών (1+2+3+4)…

Το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών (1+2+3+4), δηλαδή το 10. Οι αριθμοί 1 και 2 της τετρακτύος δίνουν το κάτω ντο και το πάνω ντο της μουσικής κλίμακας, την οποία ονομάζουν “διαπασών” (=οκτάβα). Οι αριθμοί 1 και 4 δίνουν τη διπλή οκτάβα. Η σχέση 4:3 δίνει το φθόγγο φα και η σχέση 3:2 το φθόγγο σολ.

περιστροφή πλανητών, απόσταση από την γη

Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του (Πυθαγόρειοι) υποστήριξαν επίσης…

Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του (Πυθαγόρειοι) υποστήριξαν επίσης την άποψη ότι από την περιστροφή των πλανητών παράγονται ήχοι, ανάλογα με την απόστασή τους από τη γη, οι οποίοι όμως δεν ακούγονται. Το σύνολο των ήχων αυτών δίνει την “αρμονία των σφαιρών”. Ο Πυθαγόρας και οι οπαδοί του συνδύασαν την “αρμονία των σφαιρών” με την “αρμονία” των διαστημάτων και την “αρμονία” της ψυχής.

βάσεις επιστήμης, σχέση μήκους χορδών και ύψους ήχου, αναλογίες διαστημάτων

Υπήρξε ο πρώτος που έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της μουσικής…

Υπήρξε ο πρώτος που έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της μουσικής. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και στο ύψος του ήχου που δίνουν. Με μαθηματικούς υπολογισμούς βρήκε τις αριθμητικές αναλογίες των διαστημάτων.